Una pequeña empresa de tostado de café produce dos mezclas: una mezcla gourmet para cafeterías especializadas y una mezcla clásica para supermercados. El gerente sabe que cada tipo de café requiere distintos tiempos de tueste y enfriado, por lo que la capacidad de la planta es limitada. Desea encontrar la combinación óptima de producción que maximice la utilidad semanal, respetando la restricción tecnológica de su tostadora industrial. Este tipo de problema es típico en cursos de optimización con restricciones y muestra cómo el cálculo diferencial apoya decisiones reales de producción y mezcla de productos.
Problema
Una tostadora produce \(x\) y \(y\) miles de kilogramos por semana de café gourmet y café clásico, respectivamente. Estos niveles de producción están relacionados por la ecuación de capacidad $$3x^2 + 2y^2 = 36.$$ La utilidad de la empresa es de \$6 por cada kilogramo de café gourmet y de \$4 por cada kilogramo de café clásico.
Determine cuántos miles de kilogramos de cada tipo debe producir para maximizar su utilidad semanal.
Teoría
Para maximizar una función de utilidad \(U(x,y)\) sujeta a una restricción \(g(x,y)=0\), se usa el método de los multiplicadores de Lagrange. Se define $$\mathcal{L}(x,y,\lambda) = U(x,y) + \lambda\,g(x,y)$$ y se resuelve el sistema \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0\), \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=0\), \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=0\).
Pistas
- Escriba la función de utilidad \(U(x,y)\) en términos de \(x\) y \(y\).
- Identifique la restricción \(g(x,y)=0\) a partir de la ecuación de capacidad.
- Construya la función de Lagrange \(\mathcal{L}(x,y,\lambda)\).
- Derive respecto de \(x\), \(y\) y \(\lambda\), iguale a cero y resuelva el sistema.
- Verifique que las soluciones sean positivas y calculen una utilidad máxima.
Solución
1. Función objetivo y restricción.
La utilidad semanal (en miles de dólares, para simplificar) es $$U(x,y) = 6x + 4y.$$ La restricción de capacidad es $$g(x,y) = 3x^2 + 2y^2 – 36 = 0.$$
2. Función de Lagrange.
Definimos $$\mathcal{L}(x,y,\lambda) = 6x + 4y + \lambda(3x^2 + 2y^2 – 36).$$
3. Ecuaciones de primer orden.
Calculamos las derivadas parciales:
\(\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}
= 6 + \lambda(6x) = 0\) → \(6 + 6\lambda x = 0\).
\(\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}
= 4 + \lambda(4y) = 0\) → \(4 + 4\lambda y = 0\).
\(\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}
= 3x^2 + 2y^2 – 36 = 0.\)
4. Relación entre \(x\) y \(y\).
De la primera ecuación: $$6 + 6\lambda x = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 + \lambda x = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -\frac{1}{x}.$$ De la segunda: $$4 + 4\lambda y = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 + \lambda y = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -\frac{1}{y}.$$ Igualando ambas expresiones de \(\lambda\): $$-\frac{1}{x} = -\frac{1}{y} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x} = \frac{1}{y} \quad \Rightarrow \quad x = y.$$
5. Uso de la restricción.
Si \(x = y\), reemplazamos en la restricción: $$3x^2 + 2x^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad 5x^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{36}{5}.$$ Por tanto, $$x = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} \approx 2.683.$$ Como \(x>0\), tomamos el valor positivo. Entonces \(y = x\).
6. Interpretación numérica.
La empresa debe producir aproximadamente $$x \approx 2.683 \text{ miles de kg de café gourmet}$$ y $$y \approx 2.683 \text{ miles de kg de café clásico}.$$ En cantidades: \(2683\) kg de cada tipo, aproximadamente.
La utilidad máxima es $$U_{\max} = 6x + 4y = 6x + 4x = 10x = 10\cdot\frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{60}{\sqrt{5}} \approx 26.83,$$ es decir, unos \$26 830 semanales.
Errores comunes
- Olvidar restar 36 en la restricción y usar \(3x^2 + 2y^2 = 0\) dentro de la Lagrangiana.
- No igualar las expresiones de \(\lambda\) para encontrar la relación entre \(x\) y \(y\).
- Elegir la raíz negativa para \(x\) o \(y\), lo cual no tiene sentido económico.
- Confundir miles de kilogramos con kilogramos al interpretar el resultado final.
Test de autoevaluación
-
¿Cuál es la función de utilidad \(U(x,y)\) en este problema?
Respuesta: \(U(x,y) = 6x + 4y\). -
¿Qué representa la ecuación \(3x^2 + 2y^2 = 36\)?
Respuesta: La restricción de capacidad de la planta, que relaciona los niveles de producción posibles de ambas mezclas. -
¿Por qué se puede afirmar que \(x = y\) en la solución óptima?
Respuesta: Porque al igualar las dos expresiones de \(\lambda\) obtenidas de las condiciones de primer orden resulta \(-1/x = -1/y\), lo que implica \(x = y\). -
¿El punto encontrado corresponde a máximo o mínimo?
Respuesta: Corresponde a máximo de utilidad, pues sobre la elipse de la restricción la función lineal \(6x+4y\) alcanza un valor máximo único con \(x,y>0\).
Deja un comentario