Un sitio web de noticias financieras vende suscripciones premium y utiliza campañas de email marketing para atraer lectores. Cuando aumenta la inversión semanal en campañas de correo, crece el número de nuevos suscriptores, pero con rendimientos cada vez menores, pues muchas personas ya han recibido ofertas previamente. Además, cada suscriptor genera una ganancia neta por mes, mientras que el envío de correos tiene un costo por volumen. El equipo de datos desea escribir la función de ganancia neta en términos del gasto en correos y analizar su comportamiento para elegir un presupuesto razonable.
Problema
Si se invierte \(A\) miles de dólares por semana en campañas de correo, el número de nuevos suscriptores obtenidos esa semana viene dado por \[ x = 1200\bigl(1 – e^{-0.5A}\bigr). \] Cada nuevo suscriptor produce una utilidad de \$15. El costo de correo es simplemente \(1000A\) dólares.
- Exprese la ganancia neta semanal \(P\) como función de \(A\).
- Determine si existe un valor de \(A\) que maximice \(P\) y, en caso afirmativo, encuéntrelo.
- Describa el comportamiento de \(P(A)\) cuando \(A \to 0\) y cuando \(A \to \infty\).
Teoría
- Ganancia bruta: \(G(A) = u\,x(A)\), donde \(u\) es la utilidad por suscriptor.
- Ganancia neta: \(P(A) = G(A) – \text{costo}\).
- Para estudiar máximos se usa \(P'(A)\) y, si existe solución de \(P'(A)=0\), se analiza el signo.
- Las funciones exponenciales del tipo \(1-e^{-kA}\) son crecientes y acotadas.
Pistas
- Calcule primero \(G(A) = 15x\).
- Reste \(1000A\) para obtener \(P(A)\).
- Para derivar, use \(\frac{d}{dA}e^{-0.5A} = -0.5e^{-0.5A}\).
- Observe si la ecuación \(P'(A)=0\) tiene solución positiva.
Solución
1. Función de ganancia neta.
Ganancia bruta: \[ G(A) = 15x = 15\cdot 1200\bigl(1 – e^{-0.5A}\bigr) = 18\,000\bigl(1 – e^{-0.5A}\bigr). \] Costo de correo: \(1000A\). Por tanto, \[ P(A) = 18\,000\bigl(1 – e^{-0.5A}\bigr) – 1000A. \]
2. Búsqueda de máximo.
Derivamos: \[ P'(A) = 18\,000\bigl(0.5 e^{-0.5A}\bigr) – 1000 = 9000 e^{-0.5A} – 1000. \] Resolviendo \(P'(A)=0\): \[ 9000 e^{-0.5A} – 1000 = 0 \quad \Rightarrow \quad 9000 e^{-0.5A} = 1000 \quad \Rightarrow \quad e^{-0.5A} = \frac{1}{9}. \] Aplicando logaritmo natural: \[ -0.5A = \ln\!\left(\frac{1}{9}\right) \quad \Rightarrow \quad A = -2\ln\!\left(\frac{1}{9}\right) = 2\ln 9. \] Numéricamente, \(\ln 9 \approx 2.197\), así que \[ A^\ast \approx 2(2.197) \approx 4.39 \] miles de dólares.
3. Comportamiento en los extremos.
Cuando \(A \to 0\), \[ x \to 1200(1-1)=0,\quad P(0)=0. \] Para \(A\) pequeño, \(P'(A) \approx 9000 – 1000 > 0\), de modo que \(P(A)\) aumenta.
Cuando \(A \to \infty\), \(e^{-0.5A}\to 0\), entonces \[ P(A) \approx 18\,000 – 1000A, \] que decrece linealmente y tiende a \(-\infty\). Por lo tanto, la función sube desde 0, alcanza un máximo en \(A^\ast\) y luego decrece.
Errores comunes
- Olvidar multiplicar \(x\) por 15 para obtener la ganancia bruta.
- Derivar \(e^{-0.5A}\) como si fuera constante.
- Confundir \(A\) en miles de dólares con la cantidad de suscriptores.
- No interpretar correctamente el límite cuando \(A\to\infty\).
Test de autoevaluación
-
La función \(P(A)\) es:
a) \(P(A) = 12\,000(1-e^{-0.5A}) – 1000A\)
b) \(P(A) = 18\,000(1-e^{-0.5A}) – 1000A\)
c) \(P(A) = 18\,000e^{-0.5A} – 1000A\)
d) \(P(A) = 1200(1-e^{-0.5A}) – A\) -
La ecuación para el máximo es:
a) \(e^{-0.5A} = 9\)
b) \(e^{-0.5A} = \dfrac{1}{9}\)
c) \(e^{-0.5A} = \dfrac{1}{18}\)
d) \(e^{-0.5A} = \dfrac{1}{9000}\) -
El valor aproximado de \(A^\ast\) es:
a) 2 miles de dólares
b) 3 miles de dólares
c) 4.4 miles de dólares
d) 9 miles de dólares
Respuestas: 1) b, 2) b, 3) c.
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