En un condominio residencial se proyecta un jardín rectangular con césped en el centro y un sendero de grava alrededor para que los vecinos puedan caminar o trotar. El arquitecto paisajista desea que la zona de césped tenga un área fija, suficiente para instalar juegos y bancas, pero también quiere minimizar el terreno total destinado al proyecto para mantener bajos los costos de construcción y mantenimiento. El ancho del sendero debe ser constante en todo el borde, lo que transforma el problema en uno de optimización con márgenes, análogo al diseño de un folleto o un marco de imagen.
Problema
El área verde central de un jardín rectangular debe ser de \(400\) m\(^2\). Alrededor de esta zona se construirá un sendero de \(2\) m de ancho en todo el contorno. ¿Qué dimensiones del jardín completo (incluyendo césped y sendero) minimizan el área total de terreno utilizado?
Teoría
El objetivo es minimizar un área total:
- Se plantea la relación de área fija para la parte interior.
- Se expresan las dimensiones totales en función de una sola variable.
- Se deriva la función área total y se buscan puntos críticos.
Pistas
- Sea \(a\) el ancho de la zona verde y \(b\) su largo, con \(ab=400\).
- Las dimensiones totales serán \(A = a + 4\) y \(B = b + 4\) (2 m de sendero a cada lado).
- Minimice \(T(a) = A B\) usando \(b = 400/a\).
- Observe que, al ser el sendero simétrico, el óptimo se produce cuando la parte verde es casi cuadrada.
Solución
1. Modelo del jardín.
Zona verde: dimensiones \(a\) por \(b\), con \[ ab = 400. \] Jardín completo: dimensiones \[ A = a + 2\cdot 2 = a + 4, \quad B = b + 2\cdot 2 = b + 4. \] El área total de terreno es \[ T(a) = A B = (a+4)(b+4). \]
2. Función de una variable.
De la restricción \(ab=400\) se obtiene \[ b = \frac{400}{a}. \] Entonces \[ T(a) = (a+4)\left(\frac{400}{a} + 4\right). \] Desarrollando: \[ T(a) = (a+4)\frac{400}{a} + 4(a+4) = 400 + \frac{1600}{a} + 4a + 16. \] Por tanto \[ T(a) = 416 + 4a + \frac{1600}{a}, \quad a>0. \]
3. Búsqueda del mínimo.
Derivamos: \[ T'(a) = 4 – \frac{1600}{a^2}. \] Punto crítico: \[ 4 – \frac{1600}{a^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1600}{a^2} = 4 \quad \Rightarrow \quad a^2 = \frac{1600}{4} = 400. \] Así, \[ a = \sqrt{400} = 20 \text{ m}. \] Entonces \[ b = \frac{400}{20} = 20 \text{ m}. \] La zona verde óptima es un cuadrado de \(20\) m por \(20\) m.
Las dimensiones del jardín completo son \[ A = a + 4 = 24 \text{ m}, \quad B = b + 4 = 24 \text{ m}. \] Es decir, un jardín cuadrado de \(24\) m de lado minimiza el terreno necesario.
Errores comunes
- Olvidar que el sendero agrega 2 m a cada lado (sumar 2 en lugar de 4).
- Minimizar el área de la zona verde, que ya está fija, en vez del área total.
- No reducir a una sola variable usando la ecuación \(ab=400\).
- Desestimar el caso cuadrado, que suele aparecer en problemas simétricos.
Test de autoevaluación
-
¿Qué ecuación representa el área de la zona verde?
a) \(ab = 24\) b) \(ab = 400\) c) \((a+4)(b+4) = 400\) d) \(ab = 24^2\) -
El ancho total del jardín es:
a) \(a+2\) b) \(a+4\) c) \(a\) d) \(2a+4\) -
La derivada de \(T(a)\) es:
a) \(T'(a) = 4 + \dfrac{1600}{a^2}\) b) \(T'(a) = 4 – \dfrac{1600}{a^2}\) c) \(T'(a) = \dfrac{1600}{a}\) d) \(T'(a) = 416\) -
La forma de la zona verde en la solución óptima es:
a) Rectángulo muy alargado
b) Triángulo
c) Cuadrado de 20 m por 20 m
d) Círculo
Respuestas: 1) b, 2) b, 3) b, 4) c.
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