Una tienda de tecnología quiere colocar un cartel publicitario en su vitrina principal anunciando ofertas de la semana. El gerente desea que el área con texto e imágenes sea lo suficientemente grande para leerse desde la calle, pero también quiere ahorrar cartón y reducir el costo de impresión. El diseñador sabe que necesita mantener márgenes libres alrededor del contenido para que el mensaje “respire” visualmente. Esto da lugar a un problema típico de optimización geométrica: encontrar las dimensiones del cartel que usan la menor cantidad de material posible, respetando un área de impresión fija para el contenido.
Problema
Un cartel rectangular debe contener \(600\) cm\(^2\) de espacio impreso (texto e imágenes). Se requieren márgenes de \(6\) cm en la parte superior e inferior y márgenes laterales de \(4\) cm. ¿Qué dimensiones del cartel (alto y ancho totales) minimizan la cantidad de cartón utilizado?
Teoría
Para minimizar o maximizar una cantidad expresada como función \(A(x)\), se calculan:
- La derivada \(A'(x)\).
- Se buscan los puntos críticos resolviendo \(A'(x)=0\).
- Se verifica si el punto da mínimo (por ejemplo, con \(A»(x)>0\) o analizando el signo de \(A'(x)\)).
Pistas
- Sea \(w\) el ancho de la parte impresa y \(h\) su alto. Entonces \(wh = 600\).
- El ancho total del cartel es \(W = w + 8\) (4 cm de margen a cada lado).
- El alto total es \(H = h + 12\) (6 cm de margen arriba y abajo).
- Escriba el área total \(A = WH\) como función de \(w\) usando \(h = 600/w\).
Solución
1. Variables y restricción.
Sea \(w\) el ancho del área impresa y \(h\) su alto. Por dato: \[ wh = 600. \] El ancho total del cartel es \[ W = w + 2\cdot 4 = w + 8, \] y el alto total \[ H = h + 2\cdot 6 = h + 12. \]
2. Área total como función de una sola variable.
El área total de cartón es \[ A(w) = W H = (w + 8)(h + 12). \] De la restricción \(wh = 600\) obtenemos \[ h = \frac{600}{w}. \] Entonces \[ A(w) = (w + 8)\left(\frac{600}{w} + 12\right). \] Desarrollando: \[ A(w) = (w+8)\frac{600}{w} + 12(w+8) = 600 + \frac{4800}{w} + 12w + 96. \] Por tanto \[ A(w) = 696 + 12w + \frac{4800}{w}, \quad w>0. \]
3. Cálculo del mínimo.
Derivamos: \[ A'(w) = 12 – \frac{4800}{w^2}. \] Buscamos los puntos críticos: \[ 12 – \frac{4800}{w^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{4800}{w^2} = 12 \quad \Rightarrow \quad w^2 = \frac{4800}{12} = 400. \] Así, \[ w = 20 \text{ cm} \quad (\text{tomamos } w>0). \] Entonces \[ h = \frac{600}{20} = 30 \text{ cm}. \]
El área total mínima corresponde a: \[ W = w + 8 = 28 \text{ cm}, \quad H = h + 12 = 42 \text{ cm}. \] Por tratarse de un único punto crítico con \(A(w)\to\infty\) cuando \(w\to 0^+\) o \(w\to\infty\), este punto proporciona un mínimo absoluto.
Respuesta: las dimensiones del cartel que usan la menor cantidad de cartón son \(28\) cm de ancho por \(42\) cm de alto.
Errores comunes
- Confundir el área impresa \(wh\) con el área total \(A = WH\).
- Olvidar que hay margen en ambos lados (sumar 4 en lugar de 8, o 6 en lugar de 12).
- No reemplazar \(h = 600/w\) y trabajar con dos variables, lo que complica el cálculo.
- Elegir la raíz negativa de \(w^2 = 400\), que no tiene sentido físico.
Test de autoevaluación
-
¿Qué ecuación representa el área impresa?
a) \(wh = 48\) b) \(wh = 600\) c) \(W H = 600\) d) \(W H = 48\) -
El área total del cartel se expresa como:
a) \(A = wh\) b) \(A = (w+4)(h+6)\) c) \(A = (w+8)(h+12)\) d) \(A = (w-8)(h-12)\) -
¿Cuál es el valor de \(w\) que minimiza el área total?
a) \(w=10\) cm b) \(w=20\) cm c) \(w=30\) cm d) \(w=40\) cm -
Las dimensiones finales del cartel son:
a) \(20\) cm por \(30\) cm
b) \(28\) cm por \(42\) cm
c) \(30\) cm por \(48\) cm
d) \(24\) cm por \(36\) cm
Respuestas: 1) b, 2) c, 3) b, 4) b.
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