En un aeropuerto moderno se instalarán paneles interactivos para mostrar información de vuelos, mapas y servicios. Cada panel debe disponer de una zona central táctil donde el pasajero ve y manipula la información, rodeada por un marco con sensores y carcasa de protección. El área de pantalla útil debe ser suficiente para mostrar los datos cómodamente, pero se desea minimizar el tamaño total del panel para reducir costos de fabricación y espacio en el muro. Esto lleva a un problema de optimización de área muy similar al del folleto impreso.
Problema
La zona táctil de un panel informativo rectangular debe tener \(1200\) cm\(^2\) de superficie visible. El diseño exige un marco de igual ancho en todos los lados, de \(3\) cm de grosor. ¿Qué dimensiones externas del panel minimizan el área total del dispositivo?
Teoría
Si una cantidad a optimizar, como el área total \(A\), depende de una sola variable \(x\), se estudia la función \(A(x)\) mediante:
- Derivada \(A'(x)\) y puntos críticos \(A'(x)=0\).
- Comportamiento de \(A(x)\) para valores grandes o pequeños de \(x\).
- La segunda derivada \(A»(x)\) (si es necesaria) para confirmar que el punto crítico es mínimo.
Pistas
- Llamemos \(w\) al ancho de la zona visible y \(h\) a su alto. Se cumple \(wh = 1200\).
- Como el marco es de 3 cm en todos los lados, el ancho total es \(W = w + 6\) y el alto total \(H = h + 6\).
- Exprese el área total \(A = (w+6)(h+6)\) y use \(h = 1200/w\).
- Verá que el mínimo se produce cuando la zona visible es casi cuadrada.
Solución
1. Modelo.
Sea \(w\) el ancho y \(h\) el alto de la pantalla útil. Por el requisito: \[ wh = 1200. \] El ancho total del panel es \(W = w + 6\) y el alto total \(H = h + 6\). El área total es \[ A(w) = (w+6)(h+6). \]
2. Expresión de \(A(w)\).
Usamos \(h = 1200/w\): \[ A(w) = (w+6)\left(\frac{1200}{w} + 6\right). \] Desarrollando: \[ A(w) = (w+6)\frac{1200}{w} + 6(w+6) = 1200 + \frac{7200}{w} + 6w + 36. \] Por tanto \[ A(w) = 1236 + 6w + \frac{7200}{w}, \quad w>0. \]
3. Minimización.
Derivamos: \[ A'(w) = 6 – \frac{7200}{w^2}. \] Buscamos puntos críticos: \[ 6 – \frac{7200}{w^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{7200}{w^2} = 6 \quad \Rightarrow \quad w^2 = \frac{7200}{6} = 1200. \] De aquí, \[ w = \sqrt{1200} \approx 34.64 \text{ cm}. \] Entonces \[ h = \frac{1200}{w} \approx \frac{1200}{34.64} \approx 34.64 \text{ cm}. \] La zona visible es prácticamente cuadrada.
Las dimensiones externas del panel son: \[ W = w + 6 \approx 40.64 \text{ cm}, \quad H = h + 6 \approx 40.64 \text{ cm}. \] Un panel casi cuadrado minimiza el área total.
Errores comunes
- Olvidar que el marco se suma en ambos lados y usar \(W = w+3\) en lugar de \(w+6\).
- Confundir área visible con área total y tratar de minimizar \(wh\) en vez de \(A\).
- No considerar solo la raíz positiva de \(w^2 = 1200\).
- Interpretar el resultado como el tamaño de la pantalla, olvidando que es el del panel completo.
Test de autoevaluación
-
¿Cuál es la ecuación que representa el área visible?
a) \(wh = 48\) b) \(wh = 1200\) c) \((w+6)(h+6)=1200\) d) \((w-6)(h-6)=1200\) -
La función área total en términos de \(w\) es:
a) \(A(w) = 6w + 1200\) b) \(A(w) = 1236 + 6w + \dfrac{7200}{w}\) c) \(A(w) = wh\) d) \(A(w) = \dfrac{7200}{w}\) -
El valor aproximado de \(w\) que minimiza el área es:
a) \(20\) cm b) \(30\) cm c) \(34.64\) cm d) \(40\) cm -
¿Qué forma tiene la pantalla útil en la solución óptima?
a) Muy alargada horizontalmente
b) Muy alargada verticalmente
c) Aproximadamente cuadrada
d) Circular
Respuestas: 1) b, 2) b, 3) c, 4) c.
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