Una plataforma de cursos online de matemáticas orientada a estudiantes de administración y economía fija el precio de sus programas por mes. El equipo de análisis quiere cuantificar cómo reacciona la demanda de inscripciones ante cambios pequeños en el precio. Para diseñar campañas y estrategias de precios, necesitan calcular la elasticidad precio de la demanda en un nivel de precio específico y estimar el cambio porcentual en las inscripciones cuando se aplica un ajuste moderado.
Problema
La demanda mensual de inscripciones está dada por \(x = 1000 – 25p + 0.1p^{2}\), donde \(x\) es el número de estudiantes inscritos y \(p\) es el precio en dólares del curso mensual.
1) Calcule la elasticidad de la demanda cuando \(p = 20\).
2) Si el precio \(p\) aumenta en un \(8\%\), determine el cambio porcentual aproximado en la demanda.
Teoría mínima
Con una función de demanda \(x = x(p)\), la elasticidad precio se define como
$$E(p) = \frac{p}{x(p)}\,x'(p).$$
Para cambios pequeños en el precio:
$$\frac{\Delta x}{x} \approx E(p)\,\frac{\Delta p}{p}.$$
Cuando el valor absoluto de \(E(p)\) es mayor que 1, la demanda se considera elástica: la cantidad demandada responde más que proporcionalmente a cambios en el precio.
Pistas
- Derive la función \(x(p) = 1000 – 25p + 0.1p^{2}\).
- Evalúe \(x(20)\) y \(x'(20)\).
- Sustituya en la fórmula de elasticidad \(E(p)\).
- Para el aumento del \(8\%\) en el precio, use \(\dfrac{\Delta p}{p} = 0.08\) en la aproximación de cambios porcentuales.
Solución
Paso 1: Derivada de la demanda
La demanda es
$$x(p) = 1000 – 25p + 0.1p^{2}.$$
Derivamos:
$$x'(p) = -25 + 0.2p.$$
Paso 2: Evaluar en \(p = 20\)
Cantidad demandada:
$$x(20) = 1000 – 25(20) + 0.1(20^{2}) = 1000 – 500 + 40 = 540.$$
Derivada en \(p = 20\):
$$x'(20) = -25 + 0.2(20) = -25 + 4 = -21.$$
Paso 3: Elasticidad en \(p = 20\)
Aplicamos la fórmula:
$$E(20) = \frac{20}{x(20)}\,x'(20) = \frac{20}{540}(-21).$$
Esto da:
$$E(20) = -\frac{420}{540} \approx -0.78.$$
La demanda es inelástica en \(p = 20\), ya que el valor absoluto es menor que 1.
Paso 4: Cambio porcentual aproximado en la demanda por aumento del 8 %
Si el precio aumenta un \(8\%\), entonces
$$\frac{\Delta p}{p} = 0.08.$$
Usamos la aproximación:
$$\frac{\Delta x}{x} \approx E(20)\,\frac{\Delta p}{p} = (-0.78)(0.08) \approx -0.0624.$$
Esto significa que la demanda disminuirá aproximadamente un \(6.24\%\) (cerca de un \(6.2\%\)).
Errores comunes
- Olvidar multiplicar por \(p/x(p)\) y usar solo la derivada \(x'(p)\) como si fuera elasticidad.
- Evaluar \(x(p)\) incorrectamente en el precio dado, lo que altera todo el cálculo.
- Confundir el signo: un aumento de precio con elasticidad negativa produce una caída en la demanda.
- Redondear el valor de \(E(p)\) excesivamente pronto, perdiendo precisión en el porcentaje final.
Test de autoevaluación
- Si \(E(20) \approx -0.78\), la demanda en \(p = 20\) es:
a) Elástica b) Inelástica c) Unitariamente elástica d) Perfectamente elástica - ¿Qué indica el signo negativo de la elasticidad?
a) Que la demanda aumenta cuando sube el precio
b) Que el precio no afecta a la demanda
c) Que la cantidad demandada se mueve en sentido contrario al precio
d) Que la función de demanda es constante - Si el precio sube un \(8\%\), el cambio porcentual aproximado en la demanda es:
a) \(+8\%\) b) \(-8\%\) c) \(-6.24\%\) d) \(+6.24\%\) - Para calcular el cambio porcentual aproximado en la demanda usamos:
a) \(\Delta x = E(p)\,\Delta p\)
b) \(\dfrac{\Delta x}{x} \approx E(p)\,\dfrac{\Delta p}{p}\)
c) \(\dfrac{\Delta p}{p} = E(p)\,\dfrac{\Delta x}{x}\)
d) \(\dfrac{\Delta x}{x} = \dfrac{\Delta p}{p}\)
Respuestas sugeridas: 1)b, 2)c, 3)c, 4)b.
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