Una plataforma de streaming musical ofrece un plan mensual para estudiantes. El precio se fija en función de la cantidad de suscriptores que la empresa espera captar en una ciudad universitaria. El director de marketing quiere usar elasticidad de la demanda para decidir si conviene subir o bajar el precio. Con ayuda del modelo matemático, busca estimar cómo pequeños cambios en el precio afectan el número de usuarios que contratan el servicio, y así definir una estrategia de fijación de precios más rentable.
Problema
La ecuación de demanda para el plan de streaming es \( p = 80 – 0.2x \), donde \(x\) representa el número de miles de suscriptores y \(p\) es el precio mensual en soles por usuario.
- Calcule la elasticidad de la demanda cuando el precio es \(p = 40\) soles.
- Si el precio de 40 soles aumenta en un \(3\%\), estime el cambio porcentual aproximado en la demanda.
Teoría
La elasticidad precio de la demanda se define como \( E = -\dfrac{p}{x}\dfrac{dx}{dp} \). Usando diferenciales, el cambio relativo en la cantidad cumple \[ \frac{dx}{x} \approx -E\,\frac{dp}{p}, \] de modo que un pequeño cambio porcentual en el precio produce aproximadamente un cambio porcentual en la demanda multiplicado por \(E\).
Pistas
- Primero exprese \(x\) en función de \(p\) o, más simple, halle \(\dfrac{dx}{dp}\) a partir de \(\dfrac{dp}{dx}\).
- Recuerde que \(\dfrac{dx}{dp} = 1 / \dfrac{dp}{dx}\) si \(p\) es función de \(x\).
- Sustituya el valor de \(p\) dado para encontrar \(x\) y luego evaluar \(E\).
- Use la fórmula de cambios relativos para aproximar el porcentaje de cambio en \(x\).
Solución
1. Elasticidad en \(p = 40\).
Dado \( p = 80 – 0.2x \), derivamos respecto de \(x\): \[ \frac{dp}{dx} = -0.2. \] Entonces \[ \frac{dx}{dp} = \frac{1}{-0.2} = -5. \] La elasticidad es \[ E = -\frac{p}{x}\frac{dx}{dp} = -\frac{p}{x}(-5) = \frac{5p}{x}. \] Para \(p = 40\), hallamos primero \(x\): \[ 40 = 80 – 0.2x \quad \Rightarrow \quad 0.2x = 40 \quad \Rightarrow \quad x = 200. \] (Recuerde que \(x\) está en miles, así que son \(200{,}000\) suscriptores, pero trabajamos con \(x = 200\).)
Sustituyendo: \[ E = \frac{5\cdot 40}{200} = \frac{200}{200} = 1. \] La demanda es unitariamente elástica en \(p = 40\).
2. Cambio porcentual aproximado en la demanda.
Usamos \[ \frac{dx}{x} \approx -E\,\frac{dp}{p}. \] El precio aumenta en un \(3\%\), es decir, \(\dfrac{dp}{p} \approx 0.03\). Con \(E = 1\): \[ \frac{dx}{x} \approx -1 \cdot 0.03 = -0.03. \] Esto indica que la demanda disminuirá aproximadamente un \(3\%\).
Por lo tanto, si el precio se incrementa un \(3\%\) desde 40 soles, la cantidad demandada de suscriptores caerá aproximadamente un 3 %.
Errores comunes
- Olvidar el signo menos en la definición de elasticidad y concluir que la demanda aumenta cuando sube el precio.
- Usar \(E = -\dfrac{x}{p}\dfrac{dp}{dx}\) sin invertir correctamente la derivada.
- No convertir primero el valor de \(p\) a su \(x\) correspondiente antes de evaluar la elasticidad.
- Confundir cambio absoluto (\(\Delta x\)) con cambio relativo o porcentual \(\dfrac{\Delta x}{x}\).
Test de autoevaluación
- ¿Por qué en la fórmula de elasticidad aparece un signo negativo?
- Si \(E = 1\), ¿qué significa económicamente respecto a cambios porcentuales en precio y cantidad?
- En este modelo, ¿qué sucedería con la elasticidad si el precio fuese muy cercano a 80 soles?
- ¿Es razonable suponer que la relación \(p = 80 – 0.2x\) se mantiene para cualquier valor de \(x\)? Justifica.
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