En una universidad se ha lanzado un servicio de streaming académico que ofrece videos de clases, resúmenes y talleres en línea. La dirección quiere entender cómo responde la demanda de suscripciones cuando se ajusta el precio. Para tomar decisiones, el área de administración y economía necesita calcular la elasticidad precio de la demanda en un punto concreto y estimar qué tanto cambiaría, en porcentaje, el número de suscriptores si se modifica el precio en un cierto porcentaje.
Problema
La relación de demanda para el servicio de streaming es \(x = 500 – 40p + p^{2}\), donde \(x\) representa el número de suscripciones mensuales y \(p\) el precio en dólares por suscripción.
1) Determine la elasticidad de la demanda cuando \(p = 10\).
2) Si el precio \(p\) se incrementa en un \(6\%\), encuentre el cambio porcentual aproximado en la demanda.
Teoría mínima
La elasticidad precio de la demanda mide la sensibilidad relativa de la cantidad demandada ante cambios relativos en el precio. Si la demanda se escribe como \(x = x(p)\), una definición común de elasticidad es:
$$E(p) = \frac{p}{x(p)}\,x'(p)$$
donde \(x'(p)\) es la derivada de la demanda con respecto al precio. Para cambios porcentuales pequeños:
$$\frac{\Delta x}{x} \approx E(p)\,\frac{\Delta p}{p}$$
Es decir, el cambio porcentual aproximado en la demanda es \(E(p)\) multiplicado por el cambio porcentual en el precio.
Pistas
- Escriba claramente \(x(p) = 500 – 40p + p^{2}\) y calcule la derivada \(x'(p)\).
- Evalúe \(x(10)\) y \(x'(10)\) para obtener los valores numéricos necesarios.
- Use la fórmula de elasticidad \(E(p) = \dfrac{p}{x(p)}\,x'(p)\) en \(p = 10\).
- Para el cambio porcentual en la demanda, use la aproximación \(\dfrac{\Delta x}{x} \approx E(10)\,\dfrac{\Delta p}{p}\).
Solución
Paso 1: Derivada de la demanda
La demanda es
$$x(p) = 500 – 40p + p^{2}.$$
Derivando con respecto a \(p\):
$$x'(p) = -40 + 2p.$$
Paso 2: Evaluar en \(p = 10\)
Calculamos la cantidad demandada:
$$x(10) = 500 – 40(10) + 10^{2} = 500 – 400 + 100 = 200.$$
Y la derivada en ese punto:
$$x'(10) = -40 + 2(10) = -40 + 20 = -20.$$
Paso 3: Elasticidad en \(p = 10\)
Aplicamos la fórmula:
$$E(10) = \frac{10}{x(10)}\,x'(10) = \frac{10}{200}(-20).$$
Como \(\frac{10}{200} = 0.05\), entonces
$$E(10) = 0.05 \cdot (-20) = -1.$$
La elasticidad en \(p = 10\) es \(-1\), lo que indica demanda unitariamente elástica en ese precio.
Paso 4: Cambio porcentual aproximado en la demanda
Si el precio aumenta un \(6\%\), el cambio porcentual en el precio es
$$\frac{\Delta p}{p} = 0.06.$$
Usamos la aproximación:
$$\frac{\Delta x}{x} \approx E(10)\,\frac{\Delta p}{p} = (-1)(0.06) = -0.06.$$
Es decir, la demanda disminuirá aproximadamente un \(6\%\).
Errores comunes
- Olvidar derivar toda la expresión de \(x(p)\), especialmente el término cuadrático \(p^{2}\).
- Usar la fórmula de elasticidad como \(\dfrac{x}{p}\,x'(p)\) en lugar de \(\dfrac{p}{x}\,x'(p)\).
- Confundir el cambio porcentual en la demanda con el cambio absoluto \(\Delta x\).
- Olvidar que el resultado de la elasticidad suele ser negativo para demandas normales.
Test de autoevaluación
- Si \(E(10) = -1\), ¿cómo se clasifica la demanda en \(p = 10\)?
a) Inelástica b) Elástica c) Unitariamente elástica d) Perfectamente elástica - ¿Qué representa \(x'(p)\) en este contexto?
a) La cantidad demandada b) El costo total c) La tasa de cambio de la demanda respecto al precio d) La utilidad - Si el precio aumenta un \(6\%\) y \(E(10)=-1\), el cambio porcentual aproximado en la demanda es:
a) \(+6\%\) b) \(-6\%\) c) \(+1\%\) d) \(-1\%\) - La fórmula correcta de elasticidad usada aquí es:
a) \(E(p) = \dfrac{x(p)}{p}\,x'(p)\)
b) \(E(p) = \dfrac{p}{x(p)}\,x'(p)\)
c) \(E(p) = p\,x(p)\)
d) \(E(p) = x'(p)\)
Respuestas sugeridas: 1)c, 2)c, 3)b, 4)b.
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