Una cafetería universitaria vende café a estudiantes y profesores durante todo el día. La administración quiere analizar cómo la cantidad demandada de tazas de café responde a cambios en el precio. Para planificar promociones y fijar precios, necesitan calcular la elasticidad precio de la demanda y estimar el cambio porcentual aproximado en las ventas cuando se propone una rebaja o un aumento moderado del precio.
Problema
La relación de demanda diaria para el café es \(x = 400 – 10p – 0.5p^{2}\), donde \(x\) es el número de tazas de café vendidas por día y \(p\) es el precio en soles por taza.
1) Determine la elasticidad de la demanda cuando \(p = 5\).
2) Si el precio \(p\) disminuye en un \(10\%\), estime el cambio porcentual aproximado en la demanda.
Teoría mínima
Como antes, si \(x = x(p)\) es la demanda, la elasticidad precio puntual se define como
$$E(p) = \frac{p}{x(p)}\,x'(p).$$
Para cambios pequeños:
$$\frac{\Delta x}{x} \approx E(p)\,\frac{\Delta p}{p}.$$
Si \(|E(p)|\) es menor que 1, la demanda se considera inelástica (la cantidad cambia poco frente a cambios en el precio).
Pistas
- Derive la función \(x(p) = 400 – 10p – 0.5p^{2}\).
- Evalúe \(x(5)\) y \(x'(5)\).
- Use la fórmula de elasticidad en \(p = 5\).
- Para el descuento del \(10\%\), tome \(\dfrac{\Delta p}{p} = -0.10\) y use la aproximación de cambio porcentual.
Solución
Paso 1: Derivada de la demanda
La demanda es
$$x(p) = 400 – 10p – 0.5p^{2}.$$
Derivamos:
$$x'(p) = -10 – p.$$
Paso 2: Evaluar en \(p = 5\)
Cantidad demandada:
$$x(5) = 400 – 10(5) – 0.5(5^{2}) = 400 – 50 – 12.5 = 337.5.$$
Derivada en \(p = 5\):
$$x'(5) = -10 – 5 = -15.$$
Paso 3: Elasticidad en \(p = 5\)
Aplicamos la fórmula:
$$E(5) = \frac{5}{x(5)}\,x'(5) = \frac{5}{337.5}(-15).$$
El producto es
$$E(5) = -\frac{75}{337.5} \approx -0.22.$$
La demanda es inelástica en ese punto, pues el valor absoluto es menor que 1.
Paso 4: Cambio porcentual aproximado en la demanda por una baja del 10 %
Si el precio disminuye un \(10\%\), entonces
$$\frac{\Delta p}{p} = -0.10.$$
Usamos:
$$\frac{\Delta x}{x} \approx E(5)\,\frac{\Delta p}{p} = (-0.22)(-0.10) = 0.022.$$
Es decir, la demanda aumentará aproximadamente un \(2.2\%\).
Errores comunes
- Olvidar el signo negativo del término \(-0.5p^{2}\) al derivar.
- Redondear demasiado pronto los valores de \(E(p)\), perdiendo precisión en el porcentaje final.
- Interpretar \(\Delta x / x\) como cambio absoluto en lugar de cambio porcentual.
- Suponer que una pequeña baja de precio genera un cambio muy grande en la demanda aunque la elasticidad sea baja.
Test de autoevaluación
- Si \(|E(5)| \approx 0.22\), la demanda en \(p = 5\) es:
a) Perfectamente elástica b) Elástica c) Inelástica d) Perfectamente inelástica - La derivada \(x'(p)\) indica:
a) El beneficio máximo b) La tasa de cambio de la demanda respecto al precio c) La relación costo–cantidad d) El ingreso promedio - Si el precio baja un \(10\%\) y la elasticidad es \(-0.22\), el cambio porcentual aproximado en la demanda es:
a) \(-2.2\%\) b) \(+2.2\%\) c) \(+10\%\) d) \(-10\%\) - Cuando \(|E(p)| < 1\), se dice que la demanda es:
a) Elástica b) Inelástica c) Unitariamente elástica d) Perfectamente elástica
Respuestas sugeridas: 1)c, 2)b, 3)b, 4)b.
Deja un comentario