Una aerolínea low-cost opera una ruta corta entre dos ciudades turísticas. La empresa sabe que los pasajeros son muy sensibles al precio del boleto, por lo que cada pequeña variación en la tarifa puede impactar fuertemente en el número de pasajes vendidos. Para planear promociones y descuentos, el área de ingresos utiliza un modelo de demanda que relaciona el precio con la cantidad de boletos. Usar la elasticidad permite anticipar el efecto de rebajar ligeramente la tarifa para llenar más asientos.
Problema
La demanda de pasajes se modela con \( p = \dfrac{300}{x + 1} \), donde \(x\) es el número de centenas de boletos vendidos y \(p\) es el precio promedio del boleto en dólares.
- Calcule la elasticidad de la demanda cuando el precio es \(p = 50\) dólares.
- Si la aerolínea decide reducir ese precio en un \(5\%\), estime el incremento porcentual aproximado en la cantidad de boletos vendidos.
Teoría
Para una función de demanda \(x = x(p)\), la elasticidad se define como \[ E = -\frac{p}{x}\frac{dx}{dp}. \] Usando diferenciales, si el precio cambia ligeramente, \[ \frac{dx}{x} \approx -E\,\frac{dp}{p}. \] Cuando \(E > 1\), la demanda se considera elástica; pequeños cambios en precio causan cambios relativamente mayores en la cantidad.
Pistas
- Derive \(p(x) = \dfrac{300}{x+1}\) para hallar \(\dfrac{dp}{dx}\).
- Use la relación \(\dfrac{dx}{dp} = 1/\dfrac{dp}{dx}\).
- Exprese la elasticidad en función de \(x\) y simplifique usando la ecuación original.
- Para el cambio porcentual, recuerde que el precio disminuye, de modo que \(\dfrac{dp}{p}\) es negativo.
Solución
1. Elasticidad en \(p = 50\).
Partimos de \[ p = \frac{300}{x+1}. \] Derivamos respecto de \(x\): \[ \frac{dp}{dx} = -\frac{300}{(x+1)^2}. \] Luego \[ \frac{dx}{dp} = \frac{1}{\dfrac{dp}{dx}} = -\frac{(x+1)^2}{300}. \] La elasticidad es \[ E = -\frac{p}{x}\frac{dx}{dp} = -\frac{p}{x}\left(-\frac{(x+1)^2}{300}\right) = \frac{p(x+1)^2}{300x}. \]
Usamos que \(p = \dfrac{300}{x+1}\) para simplificar: \[ E = \frac{\dfrac{300}{x+1}(x+1)^2}{300x} = \frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x}. \] Ahora hallamos \(x\) cuando \(p = 50\): \[ 50 = \frac{300}{x+1} \quad \Rightarrow \quad x+1 = \frac{300}{50} = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 5. \] Por tanto, \[ E = 1 + \frac{1}{5} = 1.2. \] La demanda es elástica en ese punto.
2. Cambio porcentual aproximado en la cantidad.
La aerolínea reduce el precio en un \(5\%\), así que \[ \frac{dp}{p} \approx -0.05. \] Con \(E = 1.2\): \[ \frac{dx}{x} \approx -E\,\frac{dp}{p} = -1.2 (-0.05) = 0.06. \] Esto indica que la cantidad de pasajes vendidos aumentará aproximadamente un \(6\%\).
Conclusión: una reducción del 5 % en el precio genera un incremento aproximado del 6 % en la demanda de boletos.
Errores comunes
- No interpretar que \(x\) mide centenas de boletos y confundir unidades.
- Olvidar evaluar la elasticidad en el valor correcto de \(x\) asociado a \(p = 50\).
- Tomar \(\dfrac{dp}{p} = 0.05\) en lugar de \(-0.05\) cuando el precio baja.
- Concluir que la demanda es inelástica porque el cambio en precio parece “pequeño”, sin usar el valor de \(E\).
Test de autoevaluación
- ¿Qué significa que la elasticidad obtenida sea mayor que 1?
- Si la aerolínea bajara el precio un \(10\%\), ¿qué cambio porcentual aproximado esperarías en la demanda usando \(E = 1.2\)?
- ¿Por qué es útil expresar la elasticidad en función de \(x\) y no sólo de \(p\)?
- ¿Qué pasaría con \(E\) si \(x\) fuera muy grande? ¿Se volvería más o menos elástica la demanda?
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