Una empresa de formación en línea vende licencias de un curso de especialización para compañías. Cada cliente corporativo adquiere varias licencias para sus empleados y el precio por licencia depende del volumen de compra total. El departamento comercial quiere entender cómo cambiará la demanda de licencias si se reduce ligeramente el precio del curso. Mediante un modelo de demanda no lineal y el concepto de elasticidad, esperan cuantificar el efecto de pequeñas promociones sobre las ventas totales.
Problema
La relación entre el precio por licencia y la cantidad demandada viene dada por \[ p = \sqrt{900 – 4x^2}, \] donde \(x\) es el número de docenas de licencias vendidas y \(p\) es el precio en dólares por licencia.
- Determine la elasticidad de la demanda cuando el precio es \(p = 20\) dólares.
- Si el precio de 20 dólares se reduce en un \(10\%\), estime el incremento porcentual aproximado en la cantidad de licencias vendidas.
Teoría
Con \(x = x(p)\), la elasticidad se define como \[ E = -\frac{p}{x}\frac{dx}{dp}. \] Si se considera un pequeño cambio en el precio, se aproxima \[ \frac{dx}{x} \approx -E\,\frac{dp}{p}. \] Valores de \(E < 1\) indican demanda inelástica, donde cambios porcentuales en precio producen cambios menores en la cantidad.
Pistas
- Derive \(p(x) = \sqrt{900 – 4x^2}\) usando regla de la cadena.
- Exprese \(\dfrac{dx}{dp}\) como el inverso de \(\dfrac{dp}{dx}\).
- Simplifique la expresión de \(E\) reemplazando \(\sqrt{900 – 4x^2}\) por \(p\).
- Al final, exprese \(E\) en función de \(p\) para evaluar directamente en \(p = 20\).
Solución
1. Elasticidad en \(p = 20\).
Partimos de \[ p = (900 – 4x^2)^{1/2}. \] Derivamos: \[ \frac{dp}{dx} = \frac{1}{2}(900 – 4x^2)^{-1/2}(-8x) = -\frac{4x}{\sqrt{900 – 4x^2}}. \] Entonces \[ \frac{dx}{dp} = \frac{1}{\dfrac{dp}{dx}} = -\frac{\sqrt{900 – 4x^2}}{4x}. \] Sustituimos en la elasticidad: \[ E = -\frac{p}{x}\frac{dx}{dp} = -\frac{p}{x}\left(-\frac{\sqrt{900 – 4x^2}}{4x}\right) = \frac{p\sqrt{900 – 4x^2}}{4x^2}. \]
Observamos que \(p = \sqrt{900 – 4x^2}\), así que \[ E = \frac{p^2}{4x^2}. \] De la ecuación original, \[ p^2 = 900 – 4x^2 \quad \Rightarrow \quad 4x^2 = 900 – p^2. \] Por tanto, \[ E = \frac{p^2}{900 – p^2}. \] Ahora evaluamos en \(p = 20\): \[ E = \frac{20^2}{900 – 20^2} = \frac{400}{900 – 400} = \frac{400}{500} = 0.8. \] La demanda es inelástica en \(p = 20\).
2. Cambio porcentual aproximado en la cantidad.
El precio disminuye un \(10\%\); entonces \[ \frac{dp}{p} \approx -0.10. \] Usamos \[ \frac{dx}{x} \approx -E\,\frac{dp}{p} = -0.8(-0.10) = 0.08. \] Esto significa que la cantidad de licencias vendidas aumentará aproximadamente un \(8\%\).
Conclusión: al aplicar un descuento del 10 % al precio de 20 dólares, la empresa puede esperar un incremento cercano al 8 % en la demanda.
Errores comunes
- Olvidar que \(x\) se mide en docenas de licencias y malinterpretar la magnitud de la demanda.
- Cometer errores al derivar la raíz cuadrada en \(\dfrac{dp}{dx}\).
- No reemplazar correctamente \(p^2\) por \(900 – 4x^2\) al simplificar la elasticidad.
- Confundir elasticidad inelástica (\(E < 1\)) con rígida o perfectamente inelástica (\(E = 0\)).
Test de autoevaluación
- ¿Por qué es conveniente expresar \(E\) sólo en función de \(p\) en este problema?
- ¿Qué interpretación económica le das al valor \(E = 0.8\)?
- Si el precio aumentara un \(5\%\), ¿qué cambio porcentual aproximado ocurriría en la cantidad demandada?
- ¿Qué ocurriría con la elasticidad cuando \(p\) se acerca al valor máximo posible en este modelo?
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