Una academia de cursos en línea lanza un nuevo programa de programación para principiantes. El equipo de ventas ha observado que la demanda disminuye cuando el precio del curso aumenta, y que esta relación puede modelarse adecuadamente con una función exponencial. El director académico desea decidir cuántos estudiantes aceptar y qué precio cobrar para obtener el mayor ingreso por cohorte. Sin embargo, la plataforma tiene límite de capacidad por tutorías en vivo, por lo que el número de estudiantes se restringe a cierto intervalo.
Problema
La función de demanda del curso está dada por \[ p = 100 e^{-x/200}, \quad 0 \le x \le 600, \] donde \(p\) es el precio del curso en dólares y \(x\) es el número de estudiantes inscritos.
- Determine cuántos estudiantes deben inscribirse para maximizar el ingreso.
- Calcule el precio que produce dicho ingreso máximo.
- Halle el monto del ingreso máximo.
Teoría
El ingreso se calcula como \(R(x) = x p(x)\). Para una función del tipo \[ R(x) = k x e^{-x/a}, \] el máximo se obtiene al resolver \(R'(x)=0\), lo que lleva a \(x=a\). El procedimiento general sigue siendo: derivar, igualar a cero y verificar el signo de la derivada.
Pistas
- Escriba \(R(x) = 100x e^{-x/200}\).
- Use la regla del producto para derivar.
- Observe que la derivada queda como un producto de \(100e^{-x/200}\) por un factor lineal en \(x\).
Solución
1. Función de ingreso.
\[ R(x) = x\cdot 100 e^{-x/200} = 100x e^{-x/200}. \]
2. Derivada de \(R(x)\).
\[ R'(x) = 100 e^{-x/200} + 100x\left(-\frac{1}{200} e^{-x/200}\right) = 100 e^{-x/200} – \frac{100x}{200} e^{-x/200}. \] Simplificando: \[ R'(x) = 100 e^{-x/200}\left(1 – \frac{x}{200}\right). \]
3. Punto crítico.
El factor exponencial es siempre positivo, por lo que resolvemos \[ 1 – \frac{x}{200} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 200. \] Este valor pertenece al intervalo \([0,600]\).
4. Verificación de máximo.
Si \(x<200\), entonces \(1 – x/200 > 0\) y \(R'(x)>0\); si \(x>200\), el factor es negativo y \(R'(x)<0\). Por lo tanto, \(R(x)\) alcanza un máximo en \(x=200\).
5. Cálculo del precio y del ingreso máximo.
- Número óptimo de estudiantes: \[ x^\ast = 200 \text{ estudiantes}. \]
- Precio correspondiente: \[ p^\ast = 100 e^{-200/200} = 100 e^{-1} = \frac{100}{e} \approx 36.79 \text{ dólares}. \]
- Ingreso máximo: \[ R_{\max} = R(200) = 100\cdot 200 \cdot e^{-1} = \frac{20\,000}{e} \approx 7\,358 \text{ dólares}. \]
Errores comunes
- Suponer que el ingreso se maximiza cuando el número de estudiantes es el máximo permitido (600).
- Confundir el dominio de la función y no verificar que el punto crítico esté dentro de \([0,600]\).
- Olvidar el factor \(-1/200\) en la derivada de la exponencial.
- Calcular \(R_{\max}\) usando el precio inicial (100 dólares) en lugar de \(p^\ast\).
Test de autoevaluación
-
La función de ingreso correcta es:
a) \(R(x) = 100 e^{-x/200}\)
b) \(R(x) = 100x e^{-x/200}\)
c) \(R(x) = x e^{-x/200}\)
d) \(R(x) = 200x e^{-x/200}\) -
El número de estudiantes que maximiza el ingreso es:
a) \(x=100\)
b) \(x=200\)
c) \(x=400\)
d) \(x=600\) -
El precio asociado al ingreso máximo es:
a) 100 dólares
b) \(\dfrac{20\,000}{e}\) dólares
c) \(\dfrac{100}{e}\) dólares
d) \(\dfrac{200}{e}\) dólares -
El ingreso máximo aproximado es:
a) 3 000 dólares
b) 7 400 dólares
c) 20 000 dólares
d) 36 800 dólares
Respuestas: 1) b, 2) b, 3) c, 4) b.
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