Una plataforma de streaming ofrece una suscripción mensual para ver series y películas. El equipo de data analytics ha estimado una función de demanda que indica cómo cambia el número de suscriptores cuando se modifica el precio. Si el precio es muy alto, pocos usuarios contratan el servicio; si es muy bajo, muchos usuarios se suscriben pero el ingreso por usuario es pequeño. El reto del gerente financiero es elegir un precio óptimo que maximice el ingreso total mensual. El siguiente modelo usa una función exponencial decreciente para representar la sensibilidad de los usuarios al precio.
Problema
La función de demanda para la suscripción mensual está dada por \[ p = 20e^{-x/4}, \quad 0 \le x \le 12, \] donde \(p\) es el precio en dólares por usuario y \(x\) es el número de miles de suscriptores.
- Encuentre la cantidad de suscriptores (en miles) que maximiza el ingreso total.
- ¿Cuál es el precio que produce el ingreso máximo?
- ¿Cuál es el valor de ese ingreso máximo?
Teoría
El ingreso total se define como \[ R(x) = x \, p(x). \] Para encontrar el máximo de \(R(x)\) en un intervalo:
- Se calcula la derivada \(R'(x)\).
- Se resuelve \(R'(x)=0\) para encontrar puntos críticos interiores.
- Se comparan los valores de \(R(x)\) en esos puntos y en los extremos del intervalo, si fuera necesario.
Pistas
- Primero exprese \(R(x)\) como \(R(x)=20x e^{-x/4}\).
- Para derivar, use la regla del producto y la derivada de \(e^{-x/4}\).
- Factoree \(20e^{-x/4}\) en \(R'(x)\) para simplificar.
- Recuerde que \(e^{-x/4}>0\) para todo \(x\), así que el signo de \(R'(x)\) dependerá del otro factor.
Solución
1. Función de ingreso.
El ingreso total es \[ R(x) = x\,p(x) = x\cdot 20e^{-x/4} = 20x e^{-x/4}. \]
2. Derivada de \(R(x)\).
Usamos la regla del producto: \[ R'(x) = 20e^{-x/4} + 20x\left(-\frac{1}{4}e^{-x/4}\right) = 20e^{-x/4} – 5x e^{-x/4}. \] Factorizando: \[ R'(x) = e^{-x/4}(20 – 5x). \]
3. Puntos críticos.
Como \(e^{-x/4} > 0\), la ecuación \(R'(x)=0\) se reduce a \[ 20 – 5x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4. \] Este valor está dentro del intervalo permitido \([0,12]\).
4. Verificación de máximo.
Si \(x<4\), el término \(20-5x\) es positivo y \(R'(x)>0\); si \(x>4\), es negativo y \(R'(x)<0\). Por lo tanto, \(R(x)\) crece hasta \(x=4\) y luego decrece: \(x=4\) da un máximo absoluto.
5. Respuestas.
-
Cantidad de suscriptores que maximiza el ingreso:
\[ x^\ast = 4 \text{ miles de usuarios}. \] -
Precio que produce el ingreso máximo:
\[ p^\ast = 20 e^{-4/4} = 20e^{-1} = \frac{20}{e} \approx 7.36 \text{ dólares}. \] -
Ingreso máximo:
\[ R_{\max} = R(4) = 20\cdot 4\cdot e^{-1} = \frac{80}{e} \approx 29.44 \] miles de dólares (aproximadamente \$29 440).
Errores comunes
- Olvidar la regla del producto y derivar solo el factor exponencial.
- Escribir la derivada de \(e^{-x/4}\) como \(e^{-x/4}\) sin el factor \(-1/4\).
- Maximizar la función de demanda \(p(x)\) en lugar del ingreso \(R(x)\).
- No verificar que el punto crítico está dentro del intervalo de valores permitido.
Test de autoevaluación
-
La función de ingreso correcta es:
a) \(R(x) = 20e^{-x/4}\)
b) \(R(x) = 20x e^{-x/4}\)
c) \(R(x) = x e^{-x/4}\)
d) \(R(x) = 4x e^{-x/4}\) -
La derivada \(R'(x)\) es:
a) \(R'(x) = 20e^{-x/4}\)
b) \(R'(x) = e^{-x/4}(20 – 5x)\)
c) \(R'(x) = e^{-x/4}(20 + 5x)\)
d) \(R'(x) = -5x e^{-x/4}\) -
La cantidad que maximiza el ingreso es:
a) \(x=2\) b) \(x=4\) c) \(x=8\) d) \(x=10\) -
El precio que genera el ingreso máximo es:
a) \(20\) dólares
b) \(\dfrac{10}{e}\) dólares
c) \(\dfrac{20}{e}\) dólares
d) \(\dfrac{80}{e}\) dólares
Respuestas: 1) b, 2) b, 3) b, 4) c.
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