Una productora organiza un concierto masivo en un estadio con capacidad para miles de personas. El equipo de marketing sabe que el precio de la entrada influye fuertemente en el número de boletos vendidos. Han ajustado una función de demanda exponencial que relaciona el precio con la cantidad de entradas que el público está dispuesto a comprar. El objetivo de la empresa no es sólo llenar el estadio, sino obtener el mayor ingreso posible por venta de entradas, eligiendo la combinación óptima de precio y cantidad vendida.
Problema
La relación entre el precio \(p\) (en dólares) de una entrada y el número de entradas vendidas \(x\) está dada por \[ p = 50 e^{-x/5000}, \quad 0 \le x \le 15\,000, \] donde \(x\) es el número de entradas.
- Determine cuántas entradas deben venderse para maximizar el ingreso total.
- Calcule el precio que produce el ingreso máximo.
- Obtenga el monto de ese ingreso máximo.
Teoría
El ingreso total es \[ R(x) = x p(x). \] Para maximizarlo:
- Se calcula \(R'(x)\) con la regla del producto.
- Se resuelve \(R'(x)=0\) y se verifica que el punto crítico esté dentro del intervalo permitido.
- Para funciones de la forma \(R(x)=k x e^{-ax}\), el máximo se produce en \(x = 1/a\).
Pistas
- Escriba \(R(x) = 50x e^{-x/5000}\).
- Al derivar, factoree \(50e^{-x/5000}\).
- Recuerde que \(\dfrac{d}{dx}e^{-x/5000} = -\dfrac{1}{5000} e^{-x/5000}\).
Solución
1. Función de ingreso.
\[ R(x) = x\cdot 50 e^{-x/5000} = 50x e^{-x/5000}. \]
2. Derivada de \(R(x)\).
\[ R'(x) = 50 e^{-x/5000} + 50x\left(-\frac{1}{5000}e^{-x/5000}\right) = 50 e^{-x/5000} – \frac{50x}{5000} e^{-x/5000}. \] Factorizando: \[ R'(x) = 50 e^{-x/5000}\left(1 – \frac{x}{5000}\right). \]
3. Punto crítico.
Como \(50 e^{-x/5000} > 0\), basta resolver \[ 1 – \frac{x}{5000} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5000. \] Este valor está en el intervalo \([0,15\,000]\).
4. Máximo de ingreso.
Para \(x<5000\), el factor \(1 – x/5000 > 0\), por lo que \(R'(x)>0\) y la función crece; para \(x>5000\), el factor es negativo, \(R'(x)<0\) y la función decrece. Por lo tanto, \(x = 5000\) entradas da un máximo absoluto.
5. Respuestas.
-
Cantidad óptima de entradas:
\[ x^\ast = 5\,000 \text{ entradas}. \] -
Precio correspondiente:
\[ p^\ast = 50 e^{-5000/5000} = 50 e^{-1} = \frac{50}{e} \approx 18.39 \text{ dólares}. \] -
Ingreso máximo:
\[ R_{\max} = R(5000) = 50 \cdot 5000 \cdot e^{-1} = \frac{250\,000}{e} \approx 91\,969 \text{ dólares}. \]
Errores comunes
- Confundir \(x\) (entradas) con \(p\) (precio) y tratar de maximizar respecto a \(p\).
- Olvidar el factor \(-1/5000\) al derivar la exponencial.
- Resolver mal la ecuación \(1 – x/5000 = 0\).
- No considerar que el dominio de \(x\) está limitado (aunque aquí el máximo cae dentro del intervalo).
Test de autoevaluación
-
La función de ingreso es:
a) \(R(x) = 50 e^{-x/5000}\)
b) \(R(x) = 50x e^{-x/5000}\)
c) \(R(x) = x e^{-x/5000}\)
d) \(R(x) = 5000 e^{-x/5000}\) -
El punto crítico que maximiza el ingreso es:
a) \(x=1000\)
b) \(x=2500\)
c) \(x=5000\)
d) \(x=10\,000\) -
El precio que produce el ingreso máximo es:
a) \(50\) dólares
b) \(\dfrac{50}{e}\) dólares
c) \(\dfrac{5000}{e}\) dólares
d) \(\dfrac{250\,000}{e}\) dólares -
¿Por qué \(x=5000\) corresponde a un máximo y no a un mínimo?
a) Porque es el único punto donde la derivada existe.
b) Porque \(R'(x)\) cambia de negativo a positivo.
c) Porque \(R'(x)\) cambia de positivo a negativo.
d) Porque la función es lineal.
Respuestas: 1) b, 2) c, 3) b, 4) c.
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