Una marca de ropa urbana decide contratar a varios influencers para promocionar su nueva colección en redes sociales. El equipo de marketing sabe que, a medida que aumenta la inversión semanal en influencers, crece el número de prendas vendidas, pero con un efecto cada vez menor, ya que parte del público objetivo se solapa. La utilidad por prenda es conocida, y la empresa paga a los influencers un monto proporcional a la inversión. Se desea escribir la utilidad neta semanal como función de la inversión y comprender cuándo deja de ser rentable seguir aumentando el presupuesto.
Problema
Si se invierte \(A\) miles de dólares por semana en influencers, el número de prendas vendidas es \[ x = 3000\bigl(1 – e^{-A}\bigr). \] Cada prenda deja una utilidad de \$25. El costo de influencers es \(1000A\) dólares.
- Exprese la utilidad neta semanal \(P\) como función de \(A\).
- Halle el valor de \(A\) que maximiza la utilidad neta.
- Indique si es conveniente invertir cantidades muy grandes en influencers según el modelo.
Teoría
Con utilidad por unidad \(u\) y número de unidades \(x(A)\), la utilidad bruta es \(u\,x(A)\). La utilidad neta es \[ P(A) = u\,x(A) – \text{costo}(A). \] Para funciones con términos exponenciales decrecientes, la derivada suele tener la forma \[ P'(A) = k e^{-A} – m, \] cuya raíz proporciona el punto de máximo.
Pistas
- Calcule primero la utilidad bruta \(U(A)=25x\).
- Reste el costo \(1000A\) para obtener \(P(A)\).
- Derive: \(\frac{d}{dA}e^{-A} = -e^{-A}\).
- Resuelva \(P'(A)=0\) y verifique el signo de la derivada antes y después del punto crítico.
Solución
1. Función de utilidad neta.
Utilidad bruta: \[ U(A) = 25x = 25\cdot 3000\bigl(1 – e^{-A}\bigr) = 75\,000\bigl(1 – e^{-A}\bigr). \] Costo de influencers: \(1000A\). Luego, \[ P(A) = 75\,000\bigl(1 – e^{-A}\bigr) – 1000A. \]
2. Punto que maximiza la utilidad.
Derivamos: \[ P'(A) = 75\,000(e^{-A}) – 1000 = 75\,000 e^{-A} – 1000. \] Igualamos a cero: \[ 75\,000 e^{-A} – 1000 = 0 \quad \Rightarrow \quad 75\,000 e^{-A} = 1000 \quad \Rightarrow \quad e^{-A} = \frac{1000}{75\,000} = \frac{1}{75}. \] De aquí, \[ -A = \ln\!\left(\frac{1}{75}\right) \quad \Rightarrow \quad A = -\ln\!\left(\frac{1}{75}\right) = \ln 75. \] Como \(\ln 75 \approx 4.317\), el presupuesto óptimo es \[ A^\ast \approx 4.32 \text{ miles de dólares}. \]
3. ¿Conviene invertir cantidades muy grandes?
Cuando \(A \to \infty\), \(e^{-A} \to 0\), entonces \[ P(A) \approx 75\,000 – 1000A, \] que decrece sin límite y se hace negativa para \(A\) suficientemente grande. Por lo tanto, según el modelo, no conviene invertir cantidades muy elevadas en influencers: después de \(A^\ast\), la utilidad neta disminuye.
Errores comunes
- Calcular el costo como \(A\) en lugar de \(1000A\).
- Olvidar multiplicar por 25 al obtener la utilidad bruta.
- Resolver incorrectamente \(e^{-A} = 1/75\), obteniendo \(A = 1/75\) en lugar de \(A = \ln 75\).
- No analizar el comportamiento para \(A \to \infty\) y suponer que más inversión siempre es mejor.
Test de autoevaluación
-
La función \(P(A)\) es:
a) \(P(A) = 75\,000(1-e^{-A})-A\)
b) \(P(A) = 75\,000(1-e^{-A}) – 1000A\)
c) \(P(A) = 3000(1-e^{-A}) – 1000A\)
d) \(P(A) = 25(1-e^{-A}) – 1000A\) -
La ecuación para el máximo es:
a) \(e^{-A} = 75\)
b) \(e^{-A} = \dfrac{1}{75}\)
c) \(e^{-A} = 0\)
d) \(e^{-A} = 1000\) -
El presupuesto óptimo en miles de dólares es:
a) \(\ln 75\)
b) \(\dfrac{1}{75}\)
c) \(75\)
d) \(\ln(1/75)\) -
Según el modelo, al incrementar \(A\) mucho más allá de \(A^\ast\):
a) La utilidad se mantiene constante.
b) La utilidad sigue aumentando.
c) La utilidad neta disminuye y puede hacerse negativa.
d) No hay cambios en la utilidad.
Respuestas: 1) b, 2) b, 3) a, 4) c.
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