Matemáticas Aplicadas para Administración y Economía

Lote económico en una librería universitaria - Matemáticas Aplicadas para Administración y Economía

📚 Lote económico en una librería universitaria 💵

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por

Prof. Teófilo
en

Una librería universitaria abastece cuadernos para los alumnos durante el año académico. Quiere decidir cuántos cuadernos pedir cada vez a su proveedor para minimizar el costo total anual, considerando:

  • el costo de compra de los cuadernos,
  • el costo de hacer cada pedido,
  • el costo de mantener inventario en almacén.

Problema (enunciado)

La demanda anual de cuadernos es de \(\,18\,000\,\) unidades.
El costo de compra es de S/ 2.50 por cuaderno.
Cada pedido a la imprenta tiene un costo fijo de S/ 40, sin importar el tamaño del pedido.
El costo de almacenar el inventario se estima en el \(15\%\) del valor promedio de las existencias por año.

Sea \(Q\) la cantidad de cuadernos que se pide cada vez (tamaño del lote). Sea \(T(Q)\) el costo total anual (en soles) asociado a la política de pedir siempre \(Q\) cuadernos.

  1. (a) Demuestre que

$$T(Q) = 45\,000 + \frac{720\,000}{Q} + 0.1875\,Q$$

  1. (b) Determine el tamaño de lote económico \(Q^\*\) que minimiza \(T(Q)\) y el costo total correspondiente \(T(Q^\*)\).
  2. (c) Si la librería decide, por política interna, hacer pedidos de \(Q = 2\,500\) cuadernos cada vez, ¿cuál sería el costo total anual \(T(2\,500)\)?

Teoría mínima

Notación general:

  • \(D\): demanda anual (unidades/año)
  • \(c\): costo de compra por unidad
  • \(K\): costo fijo por pedido
  • \(h\): tasa anual de costo de almacenamiento (fracción del valor)
  • \(Q\): unidades por pedido

Modelo EOQ (costo total anual):

$$T(Q) = D c + K\frac{D}{Q} + h c \frac{Q}{2}$$

Componentes:

Costo de compra anual:

$$C_{\text{compra}} = D c$$

Costo de hacer pedidos:

$$C_{\text{pedido}}(Q) = K \frac{D}{Q}$$

Costo de almacenamiento (inventario promedio \(Q/2\)):

$$C_{\text{almac}}(Q) = h c \frac{Q}{2}$$

El tamaño de lote económico que minimiza \(T(Q)\) es

$$Q^\* = \sqrt{\frac{2 D K}{h c}}$$

Pistas escalonadas

Pista 1

Identifica los datos:

  • \(D = 18\,000\)
  • \(c = 2.5\)
  • \(K = 40\)
  • \(h = 0.15\)

Sustituye estos valores en la expresión general de \(T(Q)\).

Pista 2

Calcula:

$$D c,\qquad K D,\qquad \frac{h c}{2}$$

y escribe \(T(Q)\) en la forma

$$T(Q)= \text{constante} + \frac{\text{constante}}{Q} + \text{constante}\cdot Q$$

Pista 3

Para minimizar \(T(Q)\):

  1. Calcula \(T'(Q)\).
  2. Resuelve \(T'(Q)=0\) para encontrar \(Q^\*\).
  3. Comprueba que \(T»(Q) > 0\) para asegurar que es mínimo.

Solución

(a) Demostración de la expresión de \(T(Q)\)

Partimos de

$$T(Q) = D c + K\frac{D}{Q} + h c \frac{Q}{2}$$

Sustituimos los datos:

$$D c = 18\,000 \cdot 2.5 = 45\,000$$

$$K D = 40 \cdot 18\,000 = 720\,000$$

$$\frac{h c}{2} = \frac{0.15 \cdot 2.5}{2} = 0.1875$$

Por lo tanto,

$$T(Q) = 45\,000 + \frac{720\,000}{Q} + 0.1875\,Q$$

(b) Lote económico \(Q^\*\) y costo mínimo

Derivada:

$$T'(Q) = -\frac{720\,000}{Q^2} + 0.1875$$

Punto crítico:

$$-\frac{720\,000}{Q^2} + 0.1875 = 0$$

$$\frac{720\,000}{Q^2} = 0.1875$$

$$Q^2 = \frac{720\,000}{0.1875}$$

$$Q^\* = \sqrt{\frac{720\,000}{0.1875}} \approx 1\,959.6$$

(aprox. \(1\,960\) cuadernos por pedido)

Costo mínimo (aproximado):

$$T(Q^\*) \approx 45\,000 + \frac{720\,000}{1\,959.6} + 0.1875 \cdot 1\,959.6 \approx 45\,735$$

(c) Costo para \(Q=2\,500\)

Evaluamos:

$$T(2\,500) = 45\,000 + \frac{720\,000}{2\,500} + 0.1875 \cdot 2\,500$$

$$\frac{720\,000}{2\,500} = 288, \qquad 0.1875 \cdot 2\,500 = 468.75$$

$$T(2\,500) = 45\,000 + 288 + 468.75 = 45\,756.75$$

Errores frecuentes y cómo evitarlos

  • Olvidar que \(T(Q)\) está en soles por año.
  • Confundir \(D\) (demanda anual) con \(Q\) (tamaño de lote).
  • Derivar mal \(\dfrac{1}{Q}\):

    $$\frac{d}{dQ}\left(\frac{1}{Q}\right) = -\frac{1}{Q^2}$$

  • No comprobar que el punto crítico es mínimo:

    $$T»(Q) = \frac{2 \cdot 720\,000}{Q^3} > 0 \quad \text{para } Q>0$$

Test de autoevaluación

  1. ¿Qué representa el término \(\dfrac{720\,000}{Q}\) en \(T(Q)\)?
    a) Costo de compra anual.
    b) Costo de almacenamiento anual.
    c) Costo anual de hacer pedidos.
    d) Costo fijo del almacén.
  2. Si \(Q\) aumenta, ¿qué ocurre con el número de pedidos por año \(D/Q\)?
    a) Aumenta.
    b) Disminuye.
    c) No cambia.
    d) Es independiente de \(Q\).
  3. ¿Cuál es la fórmula correcta del lote económico?

    $$Q^\* = \,?$$

    a) \(\sqrt{\dfrac{h c}{2 D K}}\)
    b) \(\sqrt{\dfrac{2 D K}{h c}}\)
    c) \(\dfrac{2 D K}{h c}\)
    d) \(\dfrac{h c}{2 D K}\)
  4. Si se usa un valor de \(Q\) muy superior a \(Q^\*\), en general:
    a) Sube el costo de pedidos y baja el de almacenamiento.
    b) Bajan ambos costos.
    c) Baja el costo de pedidos y sube el de almacenamiento.
    d) Aumenta el costo de compra.

Respuestas sugeridas: 1)c, 2)b, 3)b, 4)c.

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