Una planta de bebidas deportivas produce dos líneas: una bebida energética con alto contenido de cafeína y una bebida isotónica pensada para deportistas. Ambas comparten los mismos tanques de mezcla y embotellado, y la capacidad de estos equipos es limitada por razones de seguridad y mantenimiento. El director de la planta busca la combinación de producción que maximice la utilidad semanal, respetando la restricción tecnológica. Este problema ejemplifica cómo el cálculo diferencial y la optimización con restricciones ayudan a decidir cuántas unidades de cada producto elaborar cuando los recursos de la planta son escasos y deben distribuirse adecuadamente.
Problema
Sea \(x\) el número de miles de botellas de bebida energética y \(y\) el número de miles de botellas de bebida isotónica producidas por semana. La producción debe satisfacer la relación de capacidad $$2x^2 + 3y^2 = 18.$$ La utilidad neta por botella es de \$2 para la bebida energética y de \$1.5 para la isotónica.
Determine cuántos miles de botellas de cada tipo debe producir para maximizar su utilidad semanal.
Teoría
Dado un objetivo \(U(x,y)\) y una restricción \(g(x,y)=0\), el método de Lagrange establece \[ \nabla U(x,y) = -\lambda \nabla g(x,y), \] junto con \(g(x,y)=0\). Al resolver el sistema se obtienen puntos candidatos a óptimos sobre la curva de restricción, que luego se interpretan en el contexto del problema.
Pistas
- Escriba la utilidad total en función de \(x\) y \(y\).
- Defina la función de restricción y construya la Lagrangiana.
- Calcule las derivadas parciales e iguale a cero.
- Use las ecuaciones para obtener una relación entre \(x\) y \(y\).
- Sustituya en la restricción para encontrar los valores numéricos.
Solución
1. Función objetivo y restricción.
Medimos la utilidad en miles de dólares. La utilidad total es $$U(x,y) = 2x + 1.5y.$$ La restricción es $$g(x,y) = 2x^2 + 3y^2 – 18 = 0.$$
2. Lagrangiana.
Definimos $$\mathcal{L}(x,y,\lambda) = 2x + 1.5y + \lambda(2x^2 + 3y^2 – 18).$$
3. Condiciones de primer orden.
\(\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}
= 2 + \lambda(4x) = 0\) → \(2 + 4\lambda x = 0\).
\(\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}
= 1.5 + \lambda(6y) = 0\) → \(1.5 + 6\lambda y = 0\).
\(\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}
= 2x^2 + 3y^2 – 18 = 0.\)
4. Relación entre \(x\) y \(y\).
De la primera ecuación: $$2 + 4\lambda x = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -\frac{2}{4x} = -\frac{1}{2x}.$$ De la segunda: $$1.5 + 6\lambda y = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -\frac{1.5}{6y} = -\frac{0.25}{y} = -\frac{1}{4y}.$$ Igualando: $$-\frac{1}{2x} = -\frac{1}{4y} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2x} = \frac{1}{4y} \quad \Rightarrow \quad 4y = 2x \quad \Rightarrow \quad x = 2y.$$
5. Sustitución en la restricción.
Reemplazamos \(x = 2y\) en \(2x^2 + 3y^2 = 18\): \[ 2(2y)^2 + 3y^2 = 18 \quad \Rightarrow \quad 2\cdot 4y^2 + 3y^2 = 18 \quad \Rightarrow \quad 8y^2 + 3y^2 = 18. \] Así, \[ 11y^2 = 18 \quad \Rightarrow \quad y^2 = \frac{18}{11}, \quad y = \sqrt{\frac{18}{11}} \approx 1.279. \] Tomamos \(y>0\). Entonces \[ x = 2y \approx 2(1.279) \approx 2.558. \]
6. Interpretación.
La planta debe producir aproximadamente $$x \approx 2.558 \text{ miles de botellas de bebida energética},$$ $$y \approx 1.279 \text{ miles de botellas de bebida isotónica}.$$
La utilidad máxima aproximada es \[ U_{\max} = 2x + 1.5y \approx 2(2.558) + 1.5(1.279) \approx 5.116 + 1.9185 \approx 7.0345, \] es decir, unos \$7 035 semanales.
Errores comunes
- Equivocarse al simplificar \(\lambda\) y obtener una relación errónea entre \(x\) y \(y\).
- Olvidar que \(x\) y \(y\) están en miles de botellas y reportar cantidades incorrectas.
- No verificar que los valores encontrados satisfacen exactamente la restricción \(2x^2 + 3y^2 = 18\).
- Confundir utilidad por botella con utilidad total, sin multiplicar por la cantidad producida.
Test de autoevaluación
-
¿Cuál es la relación entre \(x\) y \(y\) obtenida de las condiciones de primer orden?
Respuesta: \(x = 2y\). -
¿Qué representa la ecuación \(2x^2 + 3y^2 = 18\)?
Respuesta: La restricción de capacidad de la planta que limita combinaciones posibles de producción de ambas bebidas. -
¿Cuáles son las producciones óptimas aproximadas de cada bebida?
Respuesta: \(x \approx 2.558\) miles de energéticas y \(y \approx 1.279\) miles de isotónicas. -
¿La demanda podría justificar producir más de una de las bebidas manteniendo la misma restricción?
Respuesta: No, cualquier otra combinación en la elipse \(2x^2+3y^2=18\) daría una utilidad menor según el análisis de Lagrange.
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