Una planta industrial utiliza varias máquinas de corte que requieren paradas periódicas para realizar mantenimiento preventivo. Cada parada implica un costo fijo por mano de obra y producción perdida. Sin embargo, dejar pasar demasiado tiempo entre mantenimientos incrementa el número de fallas inesperadas y los costos correctivos, que se modelan como proporcionales al intervalo de tiempo entre visitas al taller. El jefe de mantenimiento necesita decidir cada cuántos días realizar el servicio completo para minimizar el costo anual promedio asociado al cuidado de las máquinas.
Problema
Sea \(t\) el intervalo (en días) entre mantenimientos generales de una máquina. El costo anual promedio (en dólares) se modela por $$C(t) = 8\,000 + \frac{400\,000}{t} + 40t.$$ Encuentre el valor de \(t\) que hace mínimo a \(C(t)\).
Teoría
Para funciones del tipo \[ C(t) = A + \frac{B}{t} + ct,\quad B,c>0, \] el mínimo se encuentra resolviendo \[ C'(t) = -\frac{B}{t^2} + c = 0 \quad \Rightarrow \quad t^\ast = \sqrt{\frac{B}{c}}. \] Se considera sólo la raíz positiva porque \(t\) representa tiempo.
Pistas
- Calcule \(C'(t)\) usando la derivada de \(t^{-1}\).
- Iguale la derivada a cero para obtener una ecuación en \(t^2\).
- Verifique que el punto crítico corresponde a un mínimo analizando el comportamiento de \(C(t)\) para valores extremos de \(t\).
Solución
1. Derivada del costo.
Dado \[ C(t) = 8\,000 + \frac{400\,000}{t} + 40t, \] derivamos: \[ C'(t) = 0 – \frac{400\,000}{t^2} + 40 = 40 – \frac{400\,000}{t^2}. \]
2. Punto crítico.
Resolvemos \(C'(t)=0\): \[ 40 – \frac{400\,000}{t^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{400\,000}{t^2} = 40 \quad \Rightarrow \quad t^2 = \frac{400\,000}{40} = 10\,000. \] Entonces \[ t = \sqrt{10\,000} = 100 \text{ días}. \]
3. Verificación de mínimo.
Si \(t\) es muy pequeño (mantenimientos muy frecuentes), el término \(\dfrac{400\,000}{t}\) es grande. Si \(t\) es muy grande (mantenimientos muy espaciados), el término \(40t\) crece sin límite. Dado que sólo hay un punto crítico, este corresponde a un mínimo absoluto.
Conclusión: el intervalo óptimo entre mantenimientos generales es de \[ t^\ast = 100 \text{ días}. \]
Errores comunes
- Derivar \(\dfrac{400\,000}{t}\) como \(\dfrac{400\,000}{t^2}\) sin el signo negativo.
- Olvidar que el término constante 8 000 no afecta la ubicación del mínimo, aunque sí el valor del costo mínimo.
- Interpretar \(t=100\) como número de mantenimientos en lugar de intervalo entre ellos.
- Usar unidades inconsistentes (por ejemplo, confundir días con meses).
Test de autoevaluación
-
¿Cuál es la derivada correcta de \(C(t)\)?
a) \(C'(t) = 40 + \dfrac{400\,000}{t^2}\)
b) \(C'(t) = -\dfrac{400\,000}{t} + 40\)
c) \(C'(t) = 40 – \dfrac{400\,000}{t^2}\)
d) \(C'(t) = -40 + \dfrac{400\,000}{t^2}\) -
El valor de \(t^2\) que minimiza el costo es:
a) \(1\,000\)
b) \(10\,000\)
c) \(40\,000\)
d) \(400\,000\) -
El intervalo óptimo entre mantenimientos es:
a) 10 días
b) 40 días
c) 100 días
d) 400 días -
¿Qué ocurre con \(C(t)\) cuando \(t\to 0^+\)?
a) Tiende a 0.
b) Tiende a infinito por el término \(\dfrac{400\,000}{t}\).
c) Se mantiene constante.
d) No está definida.
Respuestas: 1) c, 2) b, 3) c, 4) b.
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