Una empresa de bebidas opera una línea de embotellado que produce botellas de agua para supermercados. Cada vez que se inicia una corrida de producción se incurre en un costo fijo de preparación de máquinas, limpieza y calibración. Además, mantener grandes cantidades en inventario genera gastos de almacenamiento, seguros y deterioro del producto. El gerente de operaciones debe decidir el tamaño promedio del lote de producción para todo el año. Si produce lotes muy pequeños, paga demasiadas preparaciones; si produce lotes muy grandes, los costos de inventario aumentan. El objetivo es encontrar el número de botellas por lote que minimiza el costo anual total.
Problema
El costo anual de producción y almacenamiento de botellas de agua (en dólares) se modela por $$C(x) = 10\,000 + \frac{50\,000\,000}{x} + 2x,$$ donde \(x\) es el tamaño promedio del lote de producción (número de botellas por corrida). Encuentre el valor de \(x\) que hace mínimo a \(C(x)\).
Teoría
Para una función de costo \(C(x)\) derivable:
- Los puntos críticos se obtienen resolviendo \(C'(x) = 0\).
- Si \(C'(x)\) cambia de signo de negativo a positivo, el punto es mínimo.
- Para funciones del tipo \(C(x) = A + \dfrac{B}{x} + cx\) con \(B,c>0\), el mínimo se da en $$x^\ast = \sqrt{\frac{B}{c}}.$$
Pistas
- Calcule la derivada \(C'(x)\) usando que la derivada de \(\dfrac{1}{x}\) es \(-\dfrac{1}{x^2}\).
- Iguale \(C'(x)\) a cero y despeje \(x^2\).
- Elija sólo la raíz positiva, pues \(x\) representa cantidad de botellas.
Solución
1. Derivada del costo.
Dado \[ C(x) = 10\,000 + \frac{50\,000\,000}{x} + 2x, \] derivamos: \[ C'(x) = 0 – \frac{50\,000\,000}{x^2} + 2 = 2 – \frac{50\,000\,000}{x^2}. \]
2. Puntos críticos.
Buscamos \(C'(x)=0\): \[ 2 – \frac{50\,000\,000}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{50\,000\,000}{x^2} = 2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{50\,000\,000}{2} = 25\,000\,000. \] Por tanto \[ x = \sqrt{25\,000\,000} = 5\,000. \] Tomamos la raíz positiva porque \(x\) es un tamaño de lote.
3. Verificación de mínimo.
Para \(x\) muy pequeño, el término \(\dfrac{50\,000\,000}{x}\) hace que \(C(x)\) sea muy grande. Para \(x\) muy grande, el término \(2x\) crece sin límite. En medio sólo hay un punto crítico, por lo que necesariamente corresponde a un mínimo absoluto.
Resultado: el costo anual total es mínimo cuando el tamaño promedio del lote es \[ x^\ast = 5\,000 \text{ botellas por corrida}. \]
Errores comunes
- Olvidar el signo negativo al derivar \(\dfrac{1}{x}\).
- Tratar de minimizar sólo la parte variable \(\dfrac{50\,000\,000}{x} + 2x\) y luego añadir el 10 000, sin notar que la constante no afecta la posición del mínimo (aunque esto no genera error numérico, suele confundir la interpretación).
- Conservar la raíz negativa de \(x^2 = 25\,000\,000\).
- No justificar por qué el punto crítico es mínimo y no máximo.
Test de autoevaluación
-
La derivada correcta de \(C(x)\) es:
a) \(C'(x) = \dfrac{50\,000\,000}{x^2} + 2\)
b) \(C'(x) = 2 – \dfrac{50\,000\,000}{x^2}\)
c) \(C'(x) = -\dfrac{50\,000\,000}{x} + 2\)
d) \(C'(x) = -\dfrac{50\,000\,000}{x^2} – 2\) -
El valor de \(x^2\) que se obtiene al resolver \(C'(x)=0\) es:
a) \(5\,000\,000\)
b) \(50\,000\,000\)
c) \(25\,000\,000\)
d) \(2\,500\,000\) -
El tamaño de lote que minimiza el costo es:
a) \(x=500\)
b) \(x=5\,000\)
c) \(x=50\,000\)
d) \(x=2\,500\) -
¿Por qué se descarta la solución \(x=-5\,000\)?
a) Porque da un costo muy grande.
b) Porque la derivada no existe allí.
c) Porque un tamaño de lote no puede ser negativo.
d) Porque la función sólo acepta números enteros.
Respuestas: 1) b, 2) c, 3) b, 4) c.
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