Una startup de software educativo utiliza campañas de email marketing para captar nuevos usuarios. Enviar una campaña tiene un costo fijo por diseño, redacción y segmentación de la lista. Además, el costo variable por cada correo enviado incluye el servicio de plataforma, análisis de datos y posibles descuentos ofrecidos. Sin embargo, al dividir la campaña en varios envíos pequeños, el costo fijo se repite muchas veces. El equipo de marketing desea determinar el tamaño promedio de cada campaña en número de correos para minimizar el costo total anual de sus acciones de email.
Problema
El costo anual (en dólares) de las campañas de email marketing se aproxima por $$C(n) = 1\,500 + \frac{900\,000}{n} + 3n,$$ donde \(n\) es el número promedio de correos enviados por campaña. Encuentre el valor de \(n\) que hace mínimo a \(C(n)\).
Teoría
De nuevo, para funciones del tipo \[ C(n) = A + \frac{B}{n} + cn, \] la condición de mínimo se obtiene de \[ C'(n) = -\frac{B}{n^2} + c = 0 \quad \Rightarrow \quad n^\ast = \sqrt{\frac{B}{c}}. \] En problemas de tamaño de lote o campaña, sólo tiene sentido \(n>0\).
Pistas
- Calcule la derivada \(C'(n)\) con cuidado respecto al signo del término inverso.
- Resuelva la ecuación cuadrática en \(n^2\).
- Aunque el resultado no sea entero, interprete \(n^\ast\) como valor aproximado y redondee si desea un número de correos práctico.
Solución
1. Derivada.
Dado \[ C(n) = 1\,500 + \frac{900\,000}{n} + 3n, \] derivamos: \[ C'(n) = 0 – \frac{900\,000}{n^2} + 3 = 3 – \frac{900\,000}{n^2}. \]
2. Punto crítico.
Resolvemos \(C'(n) = 0\): \[ 3 – \frac{900\,000}{n^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{900\,000}{n^2} = 3 \quad \Rightarrow \quad n^2 = \frac{900\,000}{3} = 300\,000. \] Por tanto \[ n = \sqrt{300\,000} \approx 547.72. \] El tamaño óptimo de campaña es aproximadamente \[ n^\ast \approx 548 \text{ correos por envío}. \]
3. Verificación de mínimo.
Cuando \(n\) es muy pequeño, \(\dfrac{900\,000}{n}\) hace que el costo sea muy alto. Cuando \(n\) es muy grande, el término \(3n\) domina y el costo vuelve a crecer. Dado que hay un único punto crítico, éste corresponde a un mínimo absoluto.
Errores comunes
- Derivar incorrectamente \(\dfrac{900\,000}{n}\) sin el signo negativo.
- Pensar que el valor óptimo de \(n\) debe ser necesariamente entero y forzar un redondeo sin justificarlo.
- Interpretar \(n\) como número de campañas en lugar de tamaño de cada campaña.
- Olvidar que el término constante 1 500 no altera la posición del mínimo.
Test de autoevaluación
-
La derivada de \(C(n)\) es:
a) \(C'(n) = 3 + \dfrac{900\,000}{n^2}\)
b) \(C'(n) = 3 – \dfrac{900\,000}{n^2}\)
c) \(C'(n) = -3 + \dfrac{900\,000}{n^2}\)
d) \(C'(n) = \dfrac{900\,000}{n^2}\) -
El valor de \(n^2\) que minimiza el costo es:
a) \(90\,000\)
b) \(300\,000\)
c) \(900\,000\)
d) \(3\,000\,000\) -
Un valor práctico del tamaño óptimo de campaña es aproximadamente:
a) 300 correos
b) 450 correos
c) 550 correos
d) 900 correos -
¿Qué sucede con el costo cuando \(n\) tiende a infinito?
a) Tiende a 0.
b) Tiende a infinito por el término \(3n\).
c) Se mantiene constante.
d) Disminuye primero y luego se hace negativa.
Respuestas: 1) b, 2) b, 3) c, 4) b.
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