Una empresa de energía renovable fabrica dos productos: paneles solares y baterías de litio. Ambos requieren el uso de una misma línea de ensamblaje robotizada que tiene capacidad limitada. El gerente de operaciones desea determinar la combinación de producción que maximiza la ganancia semanal respetando la restricción tecnológica impuesta por la maquinaria. Este tipo de situación es muy común en la investigación de operaciones y permite ver cómo las herramientas del cálculo multivariable ayudan a tomar decisiones sobre qué productos fabricar y en qué cantidad para aprovechar mejor los recursos escasos.
Problema
La empresa puede producir \(x\) centenas de paneles solares y \(y\) centenas de baterías por semana. Los niveles de producción satisfacen la relación $$4x^2 + y^2 = 64.$$ La ganancia es de \$120 por cada panel solar y de \$80 por cada batería.
Determine cuántas centenas de paneles y baterías debe producir para maximizar su ganancia semanal.
Teoría
Para maximizar una función lineal \(G(x,y)\) sujeta a una restricción suave \(g(x,y) = 0\), se aplica el método de multipliers de Lagrange: \[ \nabla G = -\lambda \nabla g, \] junto con \(g(x,y)=0\). El sistema de ecuaciones resultante permite encontrar candidatos a máximos o mínimos en la curva de restricción.
Pistas
- Exprese la ganancia \(G(x,y)\) en términos de \(x\) y \(y\).
- Use la restricción \(4x^2 + y^2 = 64\) para definir \(g(x,y)\).
- Calcule las derivadas parciales de la Lagrangiana.
- Obtenga una relación entre \(x\) y \(y\) a partir de las ecuaciones con \(\lambda\).
- Sustituya esa relación en la restricción y resuelva el sistema.
Solución
1. Función objetivo y restricción.
Medimos la ganancia en centenas de dólares. La función de ganancia es $$G(x,y) = 120x + 80y.$$ La restricción es $$g(x,y) = 4x^2 + y^2 – 64 = 0.$$
2. Lagrangiana.
Definimos $$\mathcal{L}(x,y,\lambda) = 120x + 80y + \lambda(4x^2 + y^2 – 64).$$
3. Condiciones de primer orden.
\(\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}
= 120 + \lambda(8x) = 0\) → \(120 + 8\lambda x = 0\).
\(\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}
= 80 + \lambda(2y) = 0\) → \(80 + 2\lambda y = 0\).
\(\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}
= 4x^2 + y^2 – 64 = 0.\)
4. Relación entre \(x\) y \(y\).
De la primera ecuación: $$120 + 8\lambda x = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -\frac{120}{8x} = -\frac{15}{x}.$$ De la segunda: $$80 + 2\lambda y = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -\frac{80}{2y} = -\frac{40}{y}.$$ Igualando: $$-\frac{15}{x} = -\frac{40}{y} \quad \Rightarrow \quad \frac{15}{x} = \frac{40}{y} \quad \Rightarrow \quad 15y = 40x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{40}{15}x = \frac{8}{3}x.$$
5. Sustitución en la restricción.
Reemplazamos \(y = \frac{8}{3}x\) en \(4x^2 + y^2 = 64\): \[ 4x^2 + \left(\frac{8}{3}x\right)^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad 4x^2 + \frac{64}{9}x^2 = 64. \] Sumando coeficientes: \[ \left(4 + \frac{64}{9}\right)x^2 = \frac{36}{9}x^2 + \frac{64}{9}x^2 = \frac{100}{9}x^2 = 64. \] Por tanto, \[ x^2 = 64 \cdot \frac{9}{100} = \frac{576}{100} = \frac{144}{25}, \quad x = \frac{12}{5} = 2.4 \quad (\text{tomamos } x>0). \]
Entonces \[ y = \frac{8}{3}x = \frac{8}{3}\cdot\frac{12}{5} = \frac{96}{15} = \frac{32}{5} = 6.4. \]
6. Interpretación.
La empresa debe producir $$x = 2.4 \text{ centenas de paneles} \; (240 \text{ paneles}),$$ $$y = 6.4 \text{ centenas de baterías} \; (640 \text{ baterías}).$$
La ganancia máxima es \[ G_{\max} = 120x + 80y = 120(2.4) + 80(6.4) = 288 + 512 = 800, \] es decir, \$80 000 de ganancia semanal.
Errores comunes
- Olvidar que \(x\) y \(y\) representan centenas de productos, no unidades individuales.
- Equivocarse al sumar los coeficientes \(\left(4 + \frac{64}{9}\right)\) y perder el factor común.
- Elegir raíces negativas para \(x\) o \(y\), que no tienen sentido en producción.
- Confundir ganancia total con precio unitario y no multiplicar por la cantidad producida.
Test de autoevaluación
-
¿Cuál es la función de ganancia \(G(x,y)\)?
Respuesta: \(G(x,y) = 120x + 80y\). -
¿Qué tipo de curva representa la restricción \(4x^2 + y^2 = 64\)?
Respuesta: Una elipse en el plano \(xy\). -
¿Qué relación entre \(x\) y \(y\) se obtuvo a partir de las ecuaciones con \(\lambda\)?
Respuesta: \(y = \dfrac{8}{3}x\). -
¿Cuántos paneles y baterías debe producir la empresa?
Respuesta: 240 paneles (2.4 centenas) y 640 baterías (6.4 centenas).
Deja un comentario