Matemáticas Aplicadas para Administración y Economía

📱 Publicidad digital para una app de juegos 🎮

—

por

Prof. Teófilo
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Una empresa lanza una app de juegos móviles y decide invertir en publicidad digital en redes sociales. El equipo de análisis observa que, conforme aumenta el gasto semanal en anuncios, el número de descargas crece rápidamente al inicio, pero luego se va estabilizando porque el mercado potencial se va saturando. Además, cada descarga genera una utilidad promedio gracias a compras dentro de la aplicación. Sin embargo, invertir demasiado en anuncios puede hacer que los costos superen los beneficios. El objetivo es escribir la utilidad neta como función del gasto publicitario y entender su comportamiento.

Problema

Si se invierte una cantidad \(A\) (en miles de dólares) en publicidad por semana, el número semanal de descargas de la app está dado por \[ x = 5000\bigl(1 – e^{-0.4A}\bigr). \] Cada descarga produce una utilidad de \$1.20 para la empresa. Sea \(P\) la utilidad neta semanal (utilidad por descargas menos costo de publicidad).

  1. Exprese \(P\) como función de \(A\).
  2. Determine el valor de \(A\) que maximiza \(P\).
  3. Describa, en palabras, la forma cualitativa de la gráfica de \(P(A)\).

Teoría

  • Si cada unidad vendida genera una utilidad \(u\) y se venden \(x(A)\) unidades, la utilidad bruta es \(u\,x(A)\).
  • Si el gasto en publicidad es \(A\) miles de dólares, el costo monetario es \(1000A\) dólares.
  • La utilidad neta es \[ P(A) = u\,x(A) – 1000A. \]
  • Para encontrar máximos, se usa la derivada: resolver \(P'(A)=0\) y analizar el signo.

Pistas

  • Primero calcule la utilidad bruta \(U(A) = 1.2\,x(A)\).
  • Reste el costo de publicidad \(1000A\) para obtener \(P(A)\).
  • Para derivar, use \(\frac{d}{dA}e^{-0.4A} = -0.4e^{-0.4A}\).
  • Recuerde que \(e^{-0.4A} > 0\) para todo \(A\).

Solución

1. Función de utilidad neta.

La utilidad bruta por descargas es \[ U(A) = 1.2\,x = 1.2\cdot 5000\bigl(1 – e^{-0.4A}\bigr) = 6000\bigl(1 – e^{-0.4A}\bigr). \] El costo de publicidad es \(1000A\) dólares. Por tanto, \[ P(A) = U(A) – 1000A = 6000\bigl(1 – e^{-0.4A}\bigr) – 1000A. \]

2. Valor de \(A\) que maximiza \(P\).

Derivamos: \[ P'(A) = 6000\bigl(0.4 e^{-0.4A}\bigr) – 1000 = 2400 e^{-0.4A} – 1000. \] Buscamos \(P'(A)=0\): \[ 2400 e^{-0.4A} – 1000 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2400 e^{-0.4A} = 1000 \quad \Rightarrow \quad e^{-0.4A} = \frac{5}{12}. \] Tomando logaritmos: \[ -0.4A = \ln\!\left(\frac{5}{12}\right) \quad \Rightarrow \quad A = -\frac{1}{0.4}\ln\!\left(\frac{5}{12}\right) = 2.5\,\ln\!\left(\frac{12}{5}\right). \] Numéricamente, \(\ln(12/5)\approx 0.8755\), así que \[ A^\ast \approx 2.5(0.8755) \approx 2.19 \] miles de dólares (alrededor de \$2190 por semana).

3. Forma de la gráfica.

Para \(A=0\), \[ P(0) = 6000(1-1) – 0 = 0. \] Al inicio, para pequeños valores de \(A\), la derivada \(P'(A) > 0\), de modo que la función crece. Luego alcanza un máximo en \(A^\ast \approx 2.19\) y, para valores grandes de \(A\), el término lineal \(-1000A\) domina y \(P(A)\) decrece sin límite. La gráfica tiene forma de “colina”: sube desde 0, alcanza un máximo y luego baja.

Errores comunes

  • Olvidar multiplicar por 1000 al interpretar \(A\) en miles de dólares.
  • Confundir utilidad bruta con utilidad neta y no restar el costo de publicidad.
  • Derivar \(e^{-0.4A}\) sin el factor \(-0.4\).
  • Buscar un máximo de \(x(A)\) en lugar de \(P(A)\).

Test de autoevaluación

  1. La función de utilidad neta es:
    a) \(P(A) = 5000(1-e^{-0.4A}) – 1000A\)
    b) \(P(A) = 6000(1-e^{-0.4A}) – 1000A\)
    c) \(P(A) = 6000 e^{-0.4A} – 1000A\)
    d) \(P(A) = 1.2(1-e^{-0.4A}) – A\)
  2. La derivada \(P'(A)\) es:
    a) \(P'(A) = 6000 e^{-0.4A} – 1000\)
    b) \(P'(A) = 2400 e^{-0.4A} – 1000\)
    c) \(P'(A) = 2400 e^{0.4A} – 1000\)
    d) \(P'(A) = -2400 e^{-0.4A} – 1000\)
  3. Para encontrar el máximo se resuelve:
    a) \(6000(1-e^{-0.4A})=0\)
    b) \(e^{-0.4A}=0\)
    c) \(2400 e^{-0.4A} – 1000 = 0\)
    d) \(A=0\)

Respuestas: 1) b, 2) b, 3) c.

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